Rasmus - Ekvationer III

Hur gör vi för att hitta punkterna där två grafer y = f(x) och y = g(x) skär varandra?

Vi vet redan det går till att hitta vart grafen till f(x) skär x-axeln. Det är där y = 0. Vi räknar ut det genom att lösa ekvationen f(x) = 0.
När graferna till y = f(x) och y = g(x) skär varandra, så har båda graferna exakt samma x- och y-värden. Alltså kan vi hitta skärningspunkten eller punkterna genom att lösa ekvationen f(x) = g(x). Lösningen till denna ekvation ger oss x-värdet(ena) på skärningspunkten(erna). Vi kan hitta y-värdet genom att sätta in värdet för x som vi hittat in i en av originalekvationerna. Det är genom att räkna ut antingen f(x) eller g(x).

Räknar ut skärningspunkten på de två linjerna f(x) = 2x − 1 och g(x) = x + 1. Låt oss först titta på en graf utav de två funktionerna. Vi kan se att skärningspunkten är (2,3)

Vi räknar ut skärningspunkten genom att lösa ekvationen f(x) = g(x). Alltså:

Exemplet visar att vi kan hitta skärningspunkter på två sätt. Antingen grafiskt, genom att rita de två graferna i samma koordinatsystem, eller genom algebra genom att lösa ekvationen så som i exemplet ovan.

Att lösa en ekvation grafiskt är enkelt med en grafräknare eller genom ett datorprogram som Excel.

Visa ekvationer kan inte lösas genom algebra men vi kan hitta lösningar som är korrekta till så många signifikanta tal som vi vill genom att använda datorer och räknare.

Vi ritar graferna till f(x) = x² − 2x − 3 och g(x) = 2x − 3 genom att göra en värdetabell och markera punkterna. Vi kan se, både från grafen och från värdetabellen, att graferna skär varandra när x = 0 och x = 4.

Flytta först alla termerna över till den vänstra sidan av ekvationen och förenkla.

Vi använder formeln för andragradsekvationens rötter där a = 1, b = −2 och c = 2.

Talet under kvadratrotstecknet är negativt vilket betyder att ekvationen inte har någon lösning.
För att se varför det är så ska vi rita grafen på vänster sida av originalekvationen

Vi ser att parabeln f(x) och den raka linjen g(x) inte skär varandra. Det är enkelt att se att vi inte kan beräkna skärningspunkten eftersom det inte finns någon sådan punkt.

Som i det förra exemplet flyttar vi alla termer över till den vänstra sidan av ekvationen.

Beräkningar visar att det bara finns två lösningar, x = 1 och x = −1, men en tredjegradsekvation kan ha tre lösningar. Grafen visar oss vad som händer.

Graferna till f(x) = x² − 2x + 1 och g(x) = x³ − 3x + 2 skär varandra på endast två ställen, där x = −1 och x = 1 vilket var lösningarna på ekvationen.

Det är enkelt att se att x = 0 och x = 1 är lösningarna till ekvationen men finns det fler lösningar? Det är inte särskilt sannolikt men låt oss titta på graferna.

Kalla den vänstra sidan f(x) = x² och den högra sidan g(x) = x. Kom ihåg att g(x) inte kan anta negativa tal av x så det kan inte finnas några skärningspunkter.

Grafen visar att det endast finns två skärningspunkter och därför bara två lösningar till ekvationen. x = 0 och x = 1.
Här är hur man löser ekvationen genom uträkning:

x² =

x⁴ = x

x⁴ − x = 0

x(x³ − 1) = 0

Kvadrera båda sidorna av ekvationen för att bli av med kvadratroten.

Denna ekvation är inte så lätt att lösa. Om vi kommer ihåg definitionen av en logaritm kan vi se att x = 1 gör att båda sidorna av ekvationen blir lika med 0 och är därför en lösning till ekvationen. Vi ritar grafer för att se om det finns fler lösningar.

Grafen visar oss att det finns två lösningar. En lösning är exakt x = 1 därför att e⁰ =1.

Lägg märke till att vi väljer x-värdena så att y-värdena kommer närmare och närmare varandra i värdetabellen. På detta vis kan vi välja x-värdet för att få den precision vi vill ha.

Om vi använder en grafräknare kan vi hitta lösningen till ekvationen ln x = x² − 1 mycket lättare.

Vi ritar graferna av båda sidorna av ekvationen och använder Zoom (shift F2) och sedan „Trace (shift F1)“ för att hitta skärningspunkten.

Ännu enklare är att använda G-Solve (F5) och sedan skärningspunktsfunktionen ISCT (F5). Detta ger oss den första skärningspunkten. Vi trycker sedan på högerpilen och räknaren flyttar sig då till den andra skärningspunkten.

Kalkylarksprogrammet EXCEL har ett verktyg som kallas ”målsökning” för att lösa ekvationer som inte enkelt kan lösas algebraiskt.

Öppna EXCEL och börja med att välja eller gissa ett startvärde för x. Skriv in detta i cell B2. Vi kan, t.ex. välja 0.1.
Sedan sätter vi in formeln som vi har på den högra sidan av ekvationen, x² − ln x, i cell D2

Välj nu ”Verktyg” och sedan ”Målsökning” i menyn. Följande visas på skärmen:

Vi skriver D2, 1 and B2 i utrymmena så som visas. Vi ber Excel att göra värdet i cell D2 lika med värdet 1 genom att ändra värdet i cell B2.

Detta säger oss att approximationen x ≈ 0.45 som vi fann grafiskt i exempel 6 är ganska bra. Lösningen x ≈ 0.4500289 som hittades genom att använda EXCEL är inte mycket bättre.