Rasmus.is - Ekvationer III

Det finns en extremt komplicerad formel för att lösa tredjegradsekvationer. Visa räknare har denna formel inbyggd och kan därför användas till att lösa tredjegradsekvationer.

Vi ska lära oss hur dessa ekvationer kan lösas genom att faktorisera. Om ekvationen har lösningar som är heltal a, b och c så kan vi faktorisera ekvationen som följer:

När vi multiplicerar ihop parenteserna så ser vi att den konstanta termen, 4, måste vara talet som vi får när vi multiplicerar ihop a, b och c.

Alla lösningarna a, b och c måste vara faktorer av 4 så att det inte är många hela tal som vi måste överväga.

Vi ska undersöka alla dessa tal för att hitta vilka som är lösningar till ekvationen.

Vi har nu hittat tre lösningar så vi behöver inte pröva 4 eller −4 då tredjegradekvationer endast har max tre lösningar.

Denna metod involverar att hitta heltalen som är faktorer av (kan divideras till ) den konstanta termen och sedan testa huruvida dessa heltal är lösningar till ekvationen.

Dessvärre kan vi inte anta att lösningar till en tredjegradekvation är alla heltal.
Men, om vi kan hitta en heltalslösning, låt oss säga att det är x = a då, enligt restsatsen, vet vi att (x − a) är en faktor utav ekvationen. Vi kan hitta en annan faktor, en andragradsfaktor, genom division. Då kan vi lösa andragradsekvationen genom att använda formeln för att lösa dessa.

Vi sätter talen som är faktorer av 4 in i ekvationen för att se om någon av dem är korrekta.

Den enda heltalslösningen är x = 1. När vi har hittat en lösning behöver vi egentligen inte testa några andra tal för att vi kan nu lösa ekvationen genom att dividera med (x − 1) och försöka att lösa andragradsekvationen som vi får från divisionen.

Vi använder formeln för andragradsekvationer med a = 1, b = −2 och c = −4.

Vi har nu hittat alla tre lösningarna till ekvationen x³ − 3x² – 2x + 4 = 0.

Vi kan enkelt använda samma metod för att lösa en fjärdegradsekvation eller en ekvation av en ännu högre grad. Lös ekvationen f(x) = x⁴ − x³ − 5x² + 3x + 2 = 0.

f(−2) = (−2)⁴ − (−2)³ − 5∙(−2)² + 3∙(−2) + 2 = 0 vi har hittat en andra lösning.

De två lösningarna vi har hittat 1 and −2 innebär att vi kan dividera med x − 1 och x + 2 och det kommer inte att bli någon rest. Vi gör detta i två steg.
Dividera först med x + 2

f(x) = (x + 2)(x − 1)(x² − 2x − 1) och nu återstår bara att lösa andragradekvationen.

Ibland kan vi lösa en tredjegradsekvation genom att sätta termerna två och två inom parentes och hitta en faktor som de har gemensamt. Låt oss titta på ett exempel på detta.

x³ − 2x² − 4x + 8 = 0

(x³ − 2x²) − (4x − 8) = 0

[x²(x − 2) − 4(x − 2)] = 0

(x − 2)[x²− 4] = 0

(x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0

Här är parentesen (x − 2) en gemensam faktor och kan tas utanför en gemensam parentes.

Lägg märke till att parentesen (x − 2) förekommer två gånger när vi har faktoriserat klart. x = 2 är därför en dubbellösning och vi har bara två olika. De är: x = 2 och x = −2.

Exemplen som vi tittat på hittills är alla ekvationer där termen med den högsta potensen har koefficienten 1.

Hur tar du itu med ekvationer där koefficienten är något annat tal?

Den generella formen är f(x) = ax³ + bx² + cx + d där a, b, c, och d är heltal.

Vi kan leta efter heltalslösningar på samma sätt som förut genom att testa faktorerna av den konstanta termen d. Om vi hittar en heltalslösning så kan vi dividera och hitta andra lösningar som förut.

Om ingen av faktorerna till d ger oss en lösning då letar vi efter lösningar som är bråk.

Låt oss anta att det finns en lösning som är en fraktion och låt oss kalla denna lösning x = t/n.

Detta betyder att x − t/n är en faktor av f(x), eller, eller om vi multiplicerar med n så är xn − t en faktor.

Låt oss nu anta att vi har dividerat f(x) med xn − t och har hittat andragradsfaktorn, vi kan kalla den

Ax² + Bx + C.

Nu har vi resultaten som

ax³ + bx² + cx + d = (xn − t )( Ax² + Bx + C )

när vi jämför koefficienterna av x³ på båda sidor av ekvationen så ser vi att a = nA och därför måste n vara en faktor av a.
På samma sätt, när vi jämför de konstanta termerna, ser vi att d = −tC och därför är t en faktor av d.

Vi bestämmer att ett bråk som är en lösning av tredjegradekvationen ax³ + bx² + cx + d måste vara av formen t/n där t är en faktor av talet d och n är en faktor av talet a.

Generaliserande för en funktion av graden n:

Om denna funktion har en rationell lösning, t.ex. t/n, då är t en faktor av a₀ och n är en faktor av a_n .

De möjliga heltalsrötterna av f(x) är faktorerna av 3, dessa är ±1 och ±3. Bråken som kan vara rötter av dessa tal är dessa fyra tal dividerat med faktorerna av 2. Så den kompletta listan utav heltal som vi måste överväga är ±½, ±1, ±³/₂ and ±3.

Vi kan se på en gång att vi inte behöver överväga några negativa värden eftersom de kommer ge negativa värden för f(x), inte 0.

f(³/₂) = 2(³/₂)³ − 7(³/₂)² + 4∙³/₂ + 3 = 0 så vi har hittat en lösning.

x = ³/₂ är en lösning så (x − ³/₂) är en faktor. Att dividera med (x − ³/₂) kan vara svårt. Så vi multiplicerar med 2 och dividerar sedan med (2x − 3) istället. Om (x − ³/₂) är en faktor så är även (2x − 3) det.

Vi måste nu lösa ekvationen x² − 2x − 1 = 0. Vi har redan löst denna ekvation i exempel 2. Lösningarna var 1 +

2 og 1 −

Ekvationer III

Lektion 2