© 2007  Rasmus ehf    och Jóhann Ísak

Funktioner I

Lektion 3

 Andragrads funktioner

Låt oss titta på andra gradens polynomer. Den enklaste formen utav funktionen är f(x) = x². Grafen är en parabel ofta kallad basparabeln.

Lägg märke till att grafen är symmetrisk i förhållande till y-axeln. Y-axeln kallas för symmetriaxel i denna funktion.

Nu ska vi se hur koefficienterna påverkar utseendet på grafen.

Koefficienten i x² kallas vanligtvis för a. Om vi tittar på parablerna med olika värden på a så ser vi att vissa är bredare och andra smalare än basparabeln där a = 1.

Här är grafer med parabler där a = 4, 2, ½ och ¼.

         a = 4                a = 2                a = ½               a = ¼

Här är parabler med negativa värden på a

        a = −4              a = −2              a = −½             a = −¼   

Om värdet på a är positivt så böjer sig grafen uppåt (som ett leende). Ju större värdet på a är ju smalare blir grafen.

Allt eftersom a blir mindre blir grafen flatare och flatare till den blir negativ och böjer sig nedåt (som en sur min).

Exempel 1

Nu ska vi rita grafen för f(x) = x² + 1 och jämföra den med g(x) = x².

Värdena på funktionen (y-värdena) i värdetabellen för f(x) = x² +1 är alla ett högre än motsvarande värden i värdetabellen för g(x) = x² och grafen har förflyttats vertikalt med 1 enhet.

Lägg märke till att grafen för f(x) = x² + 1 inte skär x-axeln. Detta talar om för oss att ekvationen x² + 1 = 0 inte någon lösning. Detta vet vi eftersom ett tal i kvadrat aldrig är negativt, så x² kan aldrig bli lika med -1.

Exempel 2

Rita grafen för f(x) = x² − 1 och jämför den med g(x) = x².

Nu är alla funktionsvärden i f(x)-tabellen ett lägre än motsvarande värden i tabellen för g(x) = x² och grafen har förflyttats ned med en enhet.

Lägg märke till att i detta exempel skär grafen till f(x) = x² − 1 x-axeln på två ställen.

Detta betyder att ekvationen x² − 1 = 0 har två lösningar,

x² − 1 = 0

       x² = 1

         x = ±1

vilka är x = −1 og x = 1.

Exempel 3

Rita grafen till f(x) = (x + 1)²  ( eller f(x) = x² + 2x + 1) och jämför den med grundparabeln g(x) = x².

Här har vi lagt till 1 till x och vi kan se att alla funktionsvärdena i tabellen med värden har flyttat upp en rad i jämförelse med basfunktionen.

Grafen till f(x) är densamma som grafen till g(x) = x² om vi flyttar den en enhet till vänster.

Vi säger att basgrafen har blivit förskjuten med -1 enheter horisontellt. Symmetriaxeln är nu x = -1.

Exempel 4

Rita grafen till f(x) = (x − 2)² − 1 (eller f(x) = x² − 4x + 3) och jämför den med basgrafen g(x) = x².

Om vi använder samma metod som i föregående exempel kan vi anta att grafen har förflyttats två enheter till höger och en enhet nedåt. Nu ska vi kolla upp detta genom att göra en värdetabell och börja med x = 0 och rita grafen.

Lägg märke till att symmetriaxeln nu är x = 2.

Vi kan finna vart grafen går över y-axeln utan att rita grafen. Vi gör detta genom att beräkna f(0) = 3 eller genom att multiplicera bort parenteserna och se att den konstanta termen (termen utan x) är 3.

f(x) = (x − 2)² − 1 = x² − 4x + 4 − 1 = x² − 4x + 3

    eller   f(0) = (x − 2)² − 1 = 4 − 1 = 3

Exempel 5

Hitta vart grafen för f(x) = (x − 2)² − 1 skär x-axeln. Vi sätter y = f(x) = 0 och löser ekvationen för x.

Skärningspunkterna är x = 2 −1 = 1 och  x = 2 + 1 = 3.

Det är lätt att se att när man skriver funktionen som f(x) = (x − 2)² − 1 så får man en massa information.

Det talar om för oss hur basgrafen förflyttas vertikalt och horisontellt.

Det talar också om för oss vart symmetriaxeln finns.

Slutligen så kan vi enkelt finna skärningspunkterna på x- och y-axlarna.

Den generella formen för ekvationen skriven i denna form är:

    f(x) = a(x + r)² + s

a är koefficienten av x² som vi redan sett.

Symmetriaxeln har ekvationen x = −r (eller så kan man säga att den har samma värden som r men med motsatta tecken).

På grund utav detta är det viktigt att veta hur man skriver om funktionen

    f(x) = ax² + bx + c till formen f(x) = a(x + r)² + s

Exempel 6

Låt oss nu titta hur vi kan ändra en andragrads funktion från en form till en annan. Skriv om f(x) = x² − 4x + 3 till formen f(x) = (x − 2)² − 1.

Jämför det med den generella formen:

    f(x) = ax² + bx + c

    f(x) = x² − 4x + 3

Här är a = 1

    och b = −4

    och c = 3 (så grafen skär y-axeln vid 3). 

Titta på regeln för att kvadrera en parentes: (x ± q)² = x² ± 2qx + q².

Vi ser att koefficienten för x är 2q.

I vårt exempel är koefficienten av x -4 vilket betyder 2q = − 4 och därför är q = −2.

Om vi räknar ut (x − 2)²  får vi x² − 4x + 4

(x − 2)²  = x² − 4x + 4.

Om vi subtraherar 1 från båda sidorna får vi:

 (x − 2)² −1 = x² − 4x + 4−1 = x² − 4x + 3

Summerande av metoden:

Från exemplet ovan kan vi dra slutsatsen att grafen till ett andra gradens polynom där a = 1 (f(x) = x² + bx + c) har sin symmetriaxel i:

    x = ^−b/₂ och skär y-axeln där y = c.

Exempel 7

Hitta symmetriaxeln till grafen för f(x) = 2x² − 12x + 10.

I detta fall är a = 2 så regeln från det föregående exemplet gäller inte. Det är inte heller lika lätt att skriva om funktionen som förut.

Istället flyttar vi ned funktionen med 10 enheter genom att subtrahera 10 från ekvationen. Att flytta grafen vertikalt ändrar inte positionen på symmetriaxeln.

Vi kan kalla denna nya funktion för g(x) och finna vart g(x) skär x-axeln.

    2x² − 12x = 0

    2x(x − 6) = 0

Denna ekvation har lösningen x = 0 och 6 så grafen till g(x) skär a-axeln i 0 och 6. Symmetriaxeln måste vara i mitten utav dessa två punkter, dvs. i x = 3.

Exempel 8

Skriv om funktionen f(x) = 2x² − 12x + 10 i formen
f(x) = a(x + r)² + s .

Nu ser vi, precis som förut, att symmetriaxeln är i x = 3.

Koefficienten utav x i exemplet ovan (f(x) = 2x² − 12x + 10) är a = 2, b = −12 och c = 10. För att finna symmetriaxeln tog vi faktorn 2 utanför en parentes. Detta motsvarar till att dividera med 2. Sen fullbordade vi kvadraten genom att dela koefficienten utav x (−6) med 2

Den generella formeln för symmetriaxeln till funktionen
f(x) = ax² + bx + c är därför:

Exempel 9

Finn vertex till parabeln f(x) = 2x² − 12x + 10.

Vertex ligger (där parabeln kröker sig) på symmetriaxeln och därför vet vi x-värdet utav vertex (3).

 Vi finner y-värdet genom att räkna ut f(3). f(3) = 2∙3² − 12∙3 + 10 = 18 − 36 + 10 = −8.

Vertex till parabeln är (3, −8).

Notera: Om a>0 så är vertex en minimipunkt. Om a<0 så är vertex maximipunkt.

Pröva förhör 3 på Funktioner I.  
Kom ihåg att använda checklistan för att hålla ordning på ditt arbete.