© 2009  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak Pétursson

Pierwiastki i potęgi


Drukuj

Prezentacja nr 2
Pierwiastki i potęgi

Teraz przyjrzymy się związkom między potęgami i pierwiastkami.

Wiemy, że 2∙2 = 22= 4

a zatem Ö4 = 2.

Wiemy również, że 2∙2∙2 = 23 = 8

a zatem 3Ö8 = 2.

Liczba 3 przy pierwiastku oznacza, że liczymy pierwiastek sześcienny

Zauważ, że gdy liczymy pierwiastek kwadratowy to zwyczajowo nie piszemy 2.

Przyjrzyjmy się następującym przykładom ( a jest liczbą dodatnią ) :

   

Itd.

Pierwiastkowanie i potęgowanie są działaniami odwrotnymi, tak samo jak mnożenie i dzielenie (jeśli pomnożymy przez pewną liczbę, a następnie przez nią podzielimy, to nic się nie zmieni). Możemy powiedzieć, że się kasują nawzajem. Równanie (a2)x = a ma tylko jedno rozwiązanie na x i jest nim x = ½, stąd możemy wnioskować, że pierwiastkowanie i podnoszenie do potęgi ½ to to samo działanie.

Pierwiastek kwadratowy to to samo co potęga do ½

 

 

Pierwiastek sześcienny to to samo co potęga do 1/3.

Przykład nr 1

Uprość poniższe przykłady jak tylko się da i podaj odpowiedź używając tylko jednej potęgi:

a)

Zmień wszystkie pierwiastki z a na potęgi ułamkowe i dodaj do siebie wykładniki potęgi pod pierwiastkiem. Następnie przemnóż przez 1/2.

b)

Aby rozwiązać równanie postaci:

Podnosimy obie strony równania do potęgi b/a.

Przykład nr 2

Rozwiąż poniższe równania:

a)



Kiedy podniesiemy obie strony równania do potęgi 4/3 pozostaniemy z x podniesionym do potęgi pierwszej.

b)

  Tu podnosimy obie strony do potęgi

Ta metoda jest bardzo prosta w użyciu, lecz należy uważać przy jej stosowaniu, gdyż mogą być przypadki, gdzie da nam błędne rozwiązanie. Gdy podnosimy do potęgi parzystej (2, 4, 6, itd.) to wszystkie liczby ujemne stają się dodatnie i musimy sprawdzić czy nasze rozwiązanie jest prawdziwe wstawiając je z powrotem do początkowego równania.

Przykład nr 3

Przyjrzyjmy się poniższemu równaniu:

Otrzymujemy rozwiązanie x=1 i x=-2. Zatem sprawdźmy je:

Rozwiązanie x = 1 jest prawidłowe.

Rozwiązanie x = -2 jest nieprawidłowe. Zgubiliśmy minus po lewej stronie równania kiedy je podnieśliśmy do kwadratu.

Czasem oba rozwiązania są prawidłowe. Przyjrzyj się następnemu przykładowi.

Przykład nr 4

Rozwiąż równanie na x:

To daje rozwiązania x = 1 i x = 2. Sprawdzając je otrzymujemy:


              i

Oba rozwiązania są poprawne.

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 2.

PS Pamiętaj, żeby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.