© 2009  Rasmus ehf     Jóhann Ísak Pétursson

Pierwiastki i potęgi


Drukuj

Prezentacja nr 1
Pierwiastki kwadratowe

Wiemy, że pierwiastek to odwrotność drugiej potęgi.

Przykład: 4 = 2 i 22 = 4.

Możemy powiedzieć, że pierwiastek kwadratowy i kwadrat kasują się nawzajem. Są odwrotnościami do siebie.

Jeśli mamy liczbę z indeksem 2 (kwadratem), to obliczenie jej pierwiastka kwadratowego oznacza po prostu opuszczenie 2 (to stosuje się tylko do liczb dodatnich).

Możemy również wziąć liczbę podniesioną do kwadratu, która znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym, poza pierwiastek, opuszczając potęgę 2.

Przykład nr 1

Uprość poniższe pierwiastki poprzez wyciągnięcie największej możliwej wartości poza pierwiastek kwadratowy.

a)

Zaczynamy od rozłożenia na czynniki liczby pod pierwiastkiem kwadratowym. Zarówno 2 i 9 pojawia się dwa razy. Zatem wyciągnięcie z pierwiastka pozostawia nam jedynie 2 i 9.

b)

c)

d)

e)

 

Większość pierwiastków kwadratowych to liczby niewymierne. To znaczy, że nie możemy podać ich dokładnej wartości w postaci ułamka zwykłego czy liczby dziesiętnej. Z tego powodu, gdy używamy kalkulatorów, aby znaleźć pierwiastek kwadratowy otrzymujemy jedynie przybliżoną jego wartość. Jeśli pozostawimy pierwiastek kwadratowy w naszych obliczeniach to dostaniemy wynik dokładny. Podczas pracy z ułamkami i pierwiastkami w zwyczaju jest nie zostawiać pierwiastków w mianownikach.

Upraszczanie w celu usunięcia pierwiastka kwadratowego z mianownika jest nazywane „usuwaniem niewymierności z mianownika”. W najprostszym przypadku przemnażamy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek kwadratowy.

Przykład nr 2

Usuń niewymierność w mianownikach w poniższych przykładach:

a)

Przemnażamy licznik i mianownik przez Ö2. Wtedy otrzymujemy (Ö2)2 = 2 w mianowniku.

b)

Gdy mnożymy dwa pierwiastki kwadratowe to możemy je umieścić pod jednym pierwiastkiem.

Możemy rozwiązać ten problem również tak:

Umieść oba wyrażenia pod jednym pierwiastkiem i uprość.

Jeśli w mianowniku są dwa wyrażenia to stosujemy wzór skróconego mnożenia (na różnicę kwadratów)

    a2 − b2 = (a + b)(a – b)

aby otrzymać liczbę rzeczywistą.

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone do mianownika, przez (a – b) lub (a+b). Otrzymujemy w mianowniku różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, tym samym usuwając niewymierność.

Przykład 3

Usuń niewymierność z mianownika:

a)

Tutaj pojawia się wyrażenie sprzężone do mianownika.

b)

Przećwicz powyższe przykłady, a potem zrób test nr 1.

PS Pamiętaj, żeby regularnie wypełniać Twoją tabelkę wyników.