Introduktion 3.

Ligninger og kurver

Skæringspunktet for to linier. 

Har man to ligninger med to ubekendte, er der mindst tre metoder til at finde ud af, hvor linierne skærer hinanden.

Metode 1: At løse ligningen grafisk.

Vi ser på ligningerne I: y = 2x + 1 og II: y = -x + 1

Først laver vi en tabel for hver ligning.

Har man fundet de koordinatsæt som linierne har fælles, har man fundet liniernes skæringspunkt.  Vi tegner begge linierne y=2x + 1 og y = -x + 1. Linierne skærer hinanden i punktet ( 0, 1). Linierne vil skære hinanden i et punkt, idet de har forskellig hældningskoefficient. Linier med ens hældningskoefficient er parallelle og skærer ikke hinanden.

Metode 2: Additionsmetoden.

Man kan beregne skæringspunkterne ved at addere de to ligninger ledvist.
I: y = 2x +1

II: y = -x + 1

Vi begynder med en omskrivning.

I: -2x + y = + 1                                

II: x + y = 1  

Vi ganger ligning II med  2 på begge sider af lighedstegnet

Herved fås 2(x + y = 1)  eller  2x + 2y = 2

Vi adderer.

I:     -2x + y = 1

II:    2x + 2y = 2

        0  + 3y = 3 

Herved får vi at y = 1  Denne værdi for y indsættes i ligning  I: 

Då blir 1 = 2x + 1   Hermed har vi en almindelig ligning med en ubekendt, og den løses helt almindeligt:  

 I: +1 -1 = 2x  eller 0 = 2x

Altså x = 0.

Dette resultat (x, y) = (0,1) passer fint med den grafiske løsning. Punktet (0,1) er det eneste fælles punkt på de to linier.

Metode 3 : Indsætningsmetoden.

Udtrykkene kan kun have samme koordinater i det punkt, hvor de skærer hinanden.
Derfor kan man være sikker på, at y i ligning I har samme værdi som y i ligning
II i netop dette punkt.

I: y = 2x +1

II: y = -x + 1

Da  -y værdierne er ens når linierne skærer hinanden er y = y  og derfor også  -x + 1 = 2x + 1   

Dette er en helt almindelig ligning med en ubekendt, og skal løses som en sådan.

  -x - 2x = 1 - 1 eller - 3x = 0

Dette betyder at x = 0. Denne værdi for x kan så indsættes i ligning I.  

y = 2x + 1 = 0 + 1 = 1

D.v.s. liniernes skæringspunkt er  (0,1).

Udfør nu test 3 i Ligningssystemet.