© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Föll 2

Kynning 3

Aðfellur ræðra falla

Eins og kunnugt er þá nefnast föll á forminu ræð föll ef t(x) og n(x) eru margliður.

Helsta einkenni ræðra falla er að gröf þeirra leggjast að beinum línum sem kallaðar hafa verið aðfellur.

Skoðum t.d. graf fallsins  

Lárétta aðfellan er hér teiknuð með rauðri línu í y = 1. Lóðréttu aðfellurnar eru hins vegar teiknaðar í bláum lit. Þær koma fram þar sem nefnari brotsins n(x) er jafn núlli.
Leysum jöfnuna:

   x² – 1 = 0

         x² = 1

          x = 1 eða x = –1

Í grennd við x = 1 og x = –1 rýkur grafið ýmist upp eða niður og

Lárétta aðfellan kemur fram vegna þess að þegar tölurnar stækka verður mismunurinn á t(x) = x² og n(x) = x² – 1 hverfandi og brotið stefnir á 1 (munurinn á t(x) og n(x) er aðeins sá að 1 er dreginn frá í nefnaranum n(x)).

Lóðréttar aðfellur eru oft nefndar lóðfellur til hægðarauka og láréttar aðfellur láfellur af sömu ástæðum.

Sýnidæmi 1

Finnum aðfellur .

Við byrjum á því að finna hvar nefnari brotsinns er 0 til þess að staðsetja hugsanlegar lóðfellur.

   x – 1 = 0

         x = 1

Grafið hefur lóðfellu í x = 1.

Skoðum nú markgildið til þess að finna láfelluna.

Þegar nefnarinn brotsins vex með hækkandi x-i stendur teljarinn í stað. 
Gildi brotsins minnkar því stöðugt og stefnir á 0.

Þetta segir okkur að y = 0 eða með öðrum orðum x-ásinn sjálfur er láfell grafsins.

Lítum nú loks á grafið í grafískri reiknivél.

Sýnidæmi 2

Finnum aðfellur .

Lóðfellur eru engar vegna þess að nefnari brotsins getur ekki orðið 0.

   x² + 1 = 0

         x² = –1 hefur enga rauntölulausn.

Skoðum þá hvað gerist þegar x stefnir á óendanlegt.

Aðferðin við að leysa svona markgildi er að deila í gegn með x-i í hæsta veldinu.

	Hér deilum við í alla liði með x2 og styttum.
	Brot með hærra veldi fyrir neðan strik verða 0.

Fallið hefur láfellu í y = 2.

Við skulum nú teikna grafið og aðfelluna í grafískri reiknivél.

Við veljum fyrst GRAPH í aðalvalmyndinni.

Þá kemur upp valmyndin þar sem við setjum inn formúlur fallanna. Það gerum við á eftirfarandi hátt:

Grafið og aðfellan birtast svona í reiknivélinni:

Sýnidæmi 3

Skoðum nú hvernig graf ræðs falls kemur út ef stig margliðunnar fyrir ofan strik er hærra en stig margliðunnar í nefnaranum.

Skoðum fallið þar sem annarrs stigs margliða er fyrir ofan strik en fyrsta stigs 
margliða fyrir neðan.

Við byrjum á því að finna hvar nefnarinn er 0, en þar kemur fram lóðfella.

   x – 1 = 0

         x = 1        

Lóðfella er í x = 1.

Nú er aðeins eins stigs munur á margliðunum fyrir ofan og neðan strik þannig að f(x) ætti að nálgast eitthvað fyrsta stigs fall eða línu með hækkandi x-i. Þetta fyrsta stigs fall getum við fundið með margliðudeilingu.

Deilingin gefur okkur eftirfarandi umritun á f(x):

Nú er þannig að f(x) ≈ x + 1 þegar x hækkar.

Línan y = x + 1 er þannig skáhöll aðfella eða skáfella sem fundin er með deilingu. 

Grafið lítur svona út:

Í framhaldi af þessu sjáum við að ef stig margliðunnar fyrir ofan strik er teimur hærri en stig margliðunnar fyrir neðan strik þá hlýtur grafið að leggjast að fleygboga. Ef síðan stig margliðunnar fyrir ofan strik er þremur hærra en stig margliðunnar fyrir neðan strik þá leggst fallið að þriðja stigs margliðu o.s.frv.

Sýnidæmi 4

Finnum aðfellur fallsins .

Hér er búið að deila fyrir okkur þannig að við getum lesið út úr þessu jöfnu skáfellunnar y = x.

Þá getum við snúið okkur að því að finna lóðfellurnar.

Leysum jöfnuna n(x) = 0.

   x² – 1 = 0

         x² = 1

          x = 1 eða x = –1

Lóðfellur eru í x = 1 og í x = –1.

Grafið lítur svona út:

Æfðu þig á þessum aðferðum og taktu síðan próf 3 í Föllum 2.

ps. mundu eftir að fylla út í tékklistann þinn jafnóðum