© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ísak

Föll 2

  Kynning 2

Jafnstæğ, oddstæğ, átæk, eintæk og gagntæk föll

 


Myndirnar hér fyrir neğan sına gröf fallanna f(x) og g(x).

Viğ skulum rifja upp hugtökin formengi (Ff) og varpmengi (Vf) en á myndinni t.v. er Ff = [1, 5] og Vf = [2, 4] en á myndinni t.h. er Fg = [1, 3] og Vg = [1, 4].

Falliğ f(x) er stöğugt á uppleiğ í öllu formenginu, ş.e. fallgildin hækka meğ vaxandi x-gildi. Şegar svona háttar til er sagt ağ falliğ sé vaxandi enda sveigir şağ hvergi niğur á viğ í formenginu.

Myndin t.h. sınir hins vegar falliğ g(x) sem er minnkandi í formengi sínu.

Í framhaldi af şessu getum viğ skoğağ fall sem er bæği minnkandi og vaxandi. Falliğ f(x) = x2 er t.d. minnkandi á bilinu á¬,0] og vaxandi á bilinu [0,®ñ eins og myndin hér fyrir neğan sınir.

Falliğ f(x) = x2 er eins og kunnugt er samhverft um x-ásinn (samhverfuásinn er x = 0 eğa y-ásinn). Föll sem şannig háttar til um nefnast jafnstæğ föll (eğa jöfn föll).

Oftast er einfalt ağ sjá á grafi hvort föll eru jafnstæğ, en şağ má sannreyna meğ şví ağ athuga hvort almennt gildir ağ f(–a) = f(a).

 

Sınidæmi 1

Athugum hvort  er jafnstætt fall.

Byrjum á şví ağ skoğa grafiğ í grafískri reiknivél. Vélin sınir grafiğ svona:

Şetta virğist vera jafnstætt fall en til şess ağ fullvissa okkur um şağ skulum viğ gera eftirfarandi prófun.

Falliğ er jafnstætt.

Sınidæmi 2

Athugum hvort falliğ f(x) = 8(ex – x – 1) er jafnstætt.

Grafiğ lítur svona út í grafískri reiknivél:

Grafiğ minnir á fleygboga og gæti fljótt á litiğ veriğ jafnstætt, en viğ skulum gera prófun.

   f(–a) = 8(e–a – a – 1)

     f(a) = 8(ea – a – 1)

Şetta tvennt er ağeins jafnt ef e–a = ea sem ber meğ sér ağ jafnan –a = a verğur ağ gilda.

Jafnan –a = a hefur ağeins lausnina a = 0 şannig ağ (0, 0) er eini punkturinn á grafinu sem uppfyllir skilyrğiğ f(–x) = f(x) şannig ağ falliğ er ekki jafnstætt.

 

Skoğum nú ağra gerğ af samhverfum eğa samhverfur um miğju hnitakerfisins. Gröf af şessari gerğ eru şannig ağ ef viğ snúum şeim 180° um punktinn (0, 0) şá falla şau ofan í sjálft sig.  Dæmi um şetta er graf f(x) = x3.

Örvarnar á myndinni hér fyrir ofan sına ağ ef viğ snúum grafi  f(x) = x3 í hálfhring um miğju hnitakerfisins şá fellur şağ ofan í sjálft sig. Föll af şessari gerğ eru samhverf um (0, 0) og şağ gerist ağeins ef f(–x) = –f(x).

Föll meğ şessa eiginleika nefnast oddstæğ (eğa ójöfn).

Şetta getum viğ notağ til şess ağ prófa hvort föll eru oddstæğ.

Sınidæmi 3

Athugum hvort falliğ er oddstætt.

Skoğum grafiğ, t.d. í grafískri reiknivél.

Falliğ virğist nokkuğ greinilega oddstætt en viğ skulum ganga úr skugga um şağ meğ prófun.

Prófunin sınir ağ f(–a) = –f(a) şannig ağ falliğ er oddstætt.

 

Föll sem verğa til viğ hliğrun á jafnstæğu falli eru samhverf um lóğrétta línu. Viğ şekkjum şetta frá gröfum annarrs stigs margliğa, en şau eru öll fleygbogar meğ samhvefuás í miğjunni og má hugsa sér ağ şau hafi orğiğ til viğ hliğrun á fleygboga meğ topp- eğa botnpunkt í (0, 0). Til şess ağ finna samhverfuásinn verğum viğ ağ finna hliğrunina miğağ viğ x-ásinn. Şá reynum viğ ağ umrita falliğ á formiğ f(x–a) + b şar sem f(x) er jafnstætt fall. Ef şağ er hægt şá er x = a samhverfuásinn.

Föll sem verğa til viğ hliğrun á oddstæğu falli eru samhverf um tiltekinn punkt. Ef viğ getum umritağ falliğ á formiğ f(x–a) + b şar sem falliğ f(x) er oddstætt şá er grafiğ y = f(x–a) + b samhverft um punktinn (a, b).

Sınidæmi 4

Athugum hvort falliğ er samhverft um lóğrétta línu eğa punkt.

Grafísk reiknivél sınir eftirfarandi graf.

Falliğ virğist samhverft um lóğrğétta línu nálægt x = –1.

Viğ getum umritağ falliğ á eftirfarandi hátt:

Falliğ er greinilega hliğrun á fallinu um eina einingu til vinstri. Skoğum hvort g(x) er jafnstætt fall.

Falliğ g(x) er greinilega jafnstætt og f(x) er myndağ viğ hliğrun á g(x) um eina einingu t.v. 
Samhverfuás f(x) er x = –1
.

Sınidæmi 5

Athugum hvort falliğ er samhverft um lóğrétta línu eğa punkt.

Grafísk reiknivél sınir eftirfarandi graf. 

Şağ hefur greinilega engan lóğréttan samhverfuás en gæti veriğ samhverft um punkt.

Falliğ er greinilega hliğrun á fallinu um eina einingu til hægri. 

Viğ şurfum şví ağ athuga hvort g(x) er oddstætt fall.

Falliğ g(x) er oddstætt og samhverft um (0, 0). Falliğ f(x) er myndağ viğ hliğrun á g(x) um eina einingu t.h. şannig ağ f(x) er samhverft um punktinn (1, 0).

 

Hugsum okkur eitthvağ talnamengi (t.d. R) og eitthvağ tiltekiğ fall f. Ef falliğ f hefur şann eiginleika ağ hafa allt talnamengiğ R sem varpmengi şannig ağ engin tala verği undanskilin şá er falliğ sagt átækt.

Tökum sem dæmi falliğ f(x) = x + 1 og veljum şví formengiğ Ff = R og varpmengiğ Vf = R. Eins og kemur fram í gildistöflunni og á grafinu hér fyrir neğan şá eru allar tölur mögulegar sem útkomur úr formúlunni f(x) ef viğ getum valiğ inn í hana hvağa x-gildi sem er. Falliğ f(x) = x + 1 er átækt.

 




Í şessum dálki geta allar tölur birtst

Dæmi um fall sem er ekki átækt í R er falliğ g(x) = x2. Gldistafla og grafiğ líta svona út.


Í şessum dálki geta engar neikvæğar tölur birtst                   

Falliğ g(x) = x2 er ekki átækt vegna şess ağ engar neikvæğar útkomur eru mögulegar. Ef viğ hins vegar veljum formmengiğ Fg = R+ og varpmengiğ Vg = R şá verğur falliğ g(x) = x2 átækt. Şá dekka útkomur úr fallinu allar hugsanlegar tölur í varpmenginu.

Eins og nafngiftin varpmengi ber meğ sér şá eru föll stundum nefnd varpanir enda má líta svo á ağ föll varpi stökum úr formenginu yfir í varpmengiğ. Viğ höfum fyrst og fremst fjallağ hér um föll sem varpa tölum úr R yfir í R eğa úr hluta af R yfir á annan hluta af R. Ef viğ hugsum şetta almennt şá getum viğ litiğ á átæku vörpunina f úr A yfir í B á eftirfarandi hátt.

Viğ getum hugsağ okkur ağ öll stök í B fái einhverja vörpun á sig.

Eftirfarandi mynd sınir hins vegar fall sem er ekki átækt.

Vörpunin fyllir ekki upp í allt varpmengiğ B.

Ef fall er eintækt şá er gildir ağ ef viğ veljum mismunandi gildi x1 ¹ x2  şá gildir alltaf ağ f(x1) ¹ f(x2).

Viğ skulum nú skoğa ağra gerğ falla sem kallast eintæk föll. Şau eru şannig ağ şağ er sama hvağa mismunandi gildi úr formenginu (x-gildi) viğ veljum viğ fáum aldrei sama fallgildiğ oftar en tvisvar.

Şetta hefur şağ í för meğ sér ağ ef um samfellt rauntölufall er ağ ræğa hlıtur şağ annağ hvort ağ vera stöğugt vaxandi eğa stöğugt minnkandi í formengi sínu. Lárétt lína getur şar af leiğandi ağeins skoriğ grafiğ á einum stağ.

Sınidæmi 6

Athugum hvort falliğ er eintækt í formenginu á–2,®ñ.

Ef falliğ er ekki eintækt şá ætti ağ vera hægt ağ finna mismunandi lausnir á jöfnunni .

Viğ sjáum hins vegar ağ eina lausnin er şegar x1 = x2  şannig ağ falliğ f hlıtur ağ vera eintækt. Viğ sjáum şağ líka á grafinu í grafísku reiknivélinni sem reyndar sınir allt grafiğ ekki bara efri hlutann eins og formengiğ á–2,®ñ segir til um.

Lárétt lína getur ağeins skoriğ şetta graf einu sinni.

Sınidæmi 7

Athugum hvort föllin f(x) = x2 og g(x) = x3 eru eintæk.

Nú er t.d. f(–1) = (–1)2 = 1 = f(1) şannig ağ falliğ f(x) er ekki eintækt.

Hins vegar gildir şetta sama ekki um falliğ g(x) = x3 vegna şess ağ g(–1) = (–1)3 = –1 og g(1) = 1. Skoğum grafiğ í grafískri reiknivél.

Şağ er ljóst af grafinu ağ falliğ er vaxandi í formengi sínu og lárétt lína getur ağeins skoriğ grafiğ á einum stağ. Falliğ g(x) er eintækt.

 

Föll sem eru bæği átæk og eintæk nefnast gagntæk. Falliğ g(x) = x3 sem fjallağ er um í sınidæmi 7 hér fyrir ofan er gagntækt í öllu talnamengi rauntalna R. Şağ er eintækt vegna şess ağ grafiğ er samfellt frá y = –∞ upp í y = ∞. Til viğbótar er falliğ stöugt vaxandi í öllu formenginu R şannig ağ şağ er eintækt og şar meğ gagntækt.

Gagntæk föll eru bæği átæk og eintæk

 


Æfğu şig á şessum ağferğum og taktu síğan próf 2 í Föllum 2.

ps. mundu eftir ağ fylla út í tékklistann şinn jafnóğum