© 2008  Rasmus ehf    og Jóhann Ķsak

Föll 2

kynning 1

Hlišrun og samsetning falla

 


Til eru żmsar samtengingar og samsetningar į föllum. Hér į eftir skulum viš skoša nokkrar žeirra. 

Sżnidęmi 1

Gefin eru föllin f(x) = x2 + x og g(x) = x + 1.

a)   Finnum summu f og g.

          f(x) + g(x) = (x2 + x) + (x + 1) = x2 + 2x + 1

b)   Finnum mismun f og g.

          f(x) + g(x) = (x2 + x) – (x + 1) = x2 + x –x – 1 = x2 – 1

c)   Finnum 2f(x) – 3g(x).

          2f(x) – 3g(x) = 2(x2 + x) – 3(x + 1) = 2x2 + 2x – 3x – 3

                               = 2x2 – x – 3

d)   Finnum margfeldi f og g.

          f(x)·g(x) = (x2 + x)·(x + 1) = x3 + x2 + x2 + x = x3 + 2x2 + x

 

 

e)   Finnum hlutfall eša kvóta f og g.

Nišurstašan hér sķšast er lķnan y = x, en taktu eftir žvķ aš formengi fallsins f(x)/g(x) = x veršur aš vera takmarkaš aš žvķ leyti aš viš getum ekki reiknaš śt fallgildi fyrir x = –1 vegna žess aš žį kemur upp deiling meš nślli. Ef formengi f og g mišast viš allar tölur ķ R žį veršur formengi f(x)/g(x) = Ff/g = R\{–1}. Grafiš veršur lķnan y = x meš gati ķ x = –1.

Žaš mį einnig hugsa sér aš viš bętum fyrst einum viš breytuna x eins og falliš g hér fyrir ofan segir til um og beytum sķšan fallinu f į nišurstöšuna. Žetta er nefnd samsettning eša samskeyting falla og er tįknuš f(g(x)) (lesiš f af g af x) eša f o g (lesiš f bolla g). Skošum dęmi um samsetningu falla.

 

 

Sżnidęmi 2

Gefin eru föllin f(x) = x2 + x og g(x) = x + 1.

a)  Finnum f(g(x)).

        f(g(x)) = (x + 1)2 + (x + 1) = x2 + 2x + 1 + x + 1 = x2 + 3x + 2

b)  Finnum g(f(x)).

        g(f(x)) = x2 + x + 1

c)   Finnum f(f(x)).

        f(f(x)) = (x2 + x)2 + (x2 + x) = x4 + 2x3 + 2x2 + x

d)   Finnum g(g(x)).

        g(g(x)) = (x + 1) + 1 = x + 2 

Ķ samsettum föllum eins og t.d. f(g(x)) er g(x) nefnt innra fall og f(x) er žį ytra fall. Žegar viš setjum saman föll kemur innra falliš ķ staš breytu ytra fallsins.

Sżnidęmi 3

Gefin eru föllin  f(x) = og  g(x) = x2 + 1.

a)  Finnum f(g(x)).

        f(g(x)) =

b)  Finnum g(f(x)).

        g(f(x)) = = x + 1

Viš höfum įšur skošaš hlišrun lķtillega, en viš getum litiš į hlišrun sem įkvešna gerš af samsetningu falla. Skošum žetta ķ nęsta sżnidęmi.

Sżnidęmi 4

Skošum hlišrun į grafi f(x) = x3 – x um sem nemur vigrinum (einnig mį segja hlišrun um o.s.frv.).

Viš skulum reikna gildistöflu fyrir falliš, byrja į –2 og enda į 2. Sķšan getum viš hlišraš śtkomunum nišur um eitt sęti en žaš jafngildir žvķ aš reikna śt gildistöflu fyrir f(x–1). Žaš kemur fram į grafinu sem hlišrun um einn til hęgri. Aš lokum gerum viš dįlk žar sem žremur er bętt viš, en žaš samsvarar hlišrun um žrjįr einingar beint upp.

Viš sjįum af myndinni aš graf f(x–1) er hlišrun į grafi f(x) um einn til hęgri (sjį blįtt graf). Sķšan er 3 bętt viš og grafiš hlišrast upp um žrjįr einingar. Žį hefur hver punktur į grafi f(x) hlišrast um vigurinn .

Eftirfarandi regla gildir:

Hlišrun grafsins f(x) um vigurinn

veršur grafiš f(x–a) + b.

 

 

 

Sżnidęmi 5

Skošum nś  föllin  f(x) = og g(x) = 4 – x2 įsamt formengjum og varpmengjum samsetninga žeirra.

Ljóst er aš viš veršum aš takmarka žęr tölur sem viš setjum undir kvašratrót viš jįkvęšar tölur eingöngu. Samsetta falliš f(g(x)) = getur žannig eingöngu tekiš viš jįkvęšum sem innra falliš g(x) = 4 – x2 framleišir. Viš veršum žvķ aš takmarka formengiš žannig aš varpmengi innra fallsins g(x) verši eingöngu jįkvęšar tölur. Skošum graf g(x) = 4 – x2 ķ žessu tilliti. Gildistaflan veršur eftirfarandi:

x g(x) = 4 - x2
-3 -5
-2 0
-1 3
0 4
1 3
2 0
3 -5

 

Grafiš er svona.

Litaša svęšiš į myndinni sżnir hvar graf g(x) er yfir x-įsnum. Į bilinu –2 til 2 gefur innra falliš g(x) jįkvęšar śtkomur į bilinu 0 til 4. Formengi g(x) eša Fg(x) = {xĪR | –2 ≤ x ≤ 2} gefur varpmengiš Vg(x) = {yĪR | 0 ≤ y ≤ 4}. Žetta varpmengi veršur sķšan formengi f(x) ķ samsetningunni.  Viš skulum žvķ skoša hvaša śtkomur f(x) gefur į bilinu 0 ≤ x ≤ 4. Žaš er augljóst aš śtkomurnar verša į bilinu 0 ≤ x ≤ 2.

Viš höfum žvķ fundiš aš formengi f(g(x)) er Ff(g(x)) = {xĪR | –2 ≤ x ≤ 2} og varpmengi f(g(x)) er Vf(g(x)) = {yĪR | 0 ≤ x ≤ 2}, en skošum žetta į grafi.

Byrjum į gildistöflu.

Grafiš veršur hįlfhringur meš mišju ķ (0, 0) og radķus 2.

Vf(g(x)) = {yĪR | 0 ≤ x ≤ 2},

         Ff(g(x)) = {xĪR | –2 ≤ x ≤ 2 }

 

Aš finna formengi og varpmengi samsettra falla.

1)   Viš veljum formengi innra fallsins žannig aš 
      varpmengi žess passi sem formengi ytra fallsins.

2)   Śt frį žessu formengi finnum viš sķšan varpmengi
      samsetta fallsins

Hluti af formengi g er formengi samsetta fallsins. Žaš formengi varpast yfir meš fallinu g og myndar formengi f sem varpast yfir meš fallinu f og myndar varpmengi samsetta fallsins.


Ęfšu žig į žessum ašferšum og taktu sķšan próf 1 ķ föllum 2.

ps. mundu eftir aš fylla śt ķ tékklistann žinn jafnóšum