Rasmus.is - Líkningar III

Líkningar 3

Kunning 1

Líkningar á øðrum stigi

Vit skulu nú finna loysnir til líkningar á øðrum stigi. Tað er tað sama sum at vita, hvar grafar hjá funktiónum við forskrift f(x) = ax² + bx + c skera x-ásina í krossskipanini.

Vit kanna fyrst tey dømini, tá ið annað ella triðja lið er null (t.e. b = 0 ella c = 0).

Dømi 1

a) 2x² − 8 = 0
          2x² = 8
            x² = 4
             x = ±2

Fyrst seta vit x²einsamalt, síðan taka vit kvadratrótina báðumegin. Tað gevur tvær loysnir +2 og −2

b) 2x² + 8 = 0
           2x² = −8
             x² = −4
   eingin loysn

Her ber ikki til at taka kvadratrótina, tí talið er negativt

Dømi 2

a)   2x² − 8x = 0
      2x(x − 4) = 0
      2x = 0 ella x − 4 = 0
        x = 0 ella x = 4

Her ber til at seta 2x út um klombur. Annar faktorurin má vera 0, tí faldið er 0

b)   2x² + 8x = 0
      2x(x + 4) = 0
      2x = 0 ella x + 4 = 0
      x = 0 ella x = −4

Her fáa vit eisini tvær loysnir. Hesar líkningarnar (har c = 0) hava altíð tvær loysnir

Er eingin av konstantunum (koefficientunum) a, b og c null, verður truplari. Tó ikki um so er, at líkningin passar við regluna

p² ± 2pq + p² = (p ± q)²

Dømi 3

a)    x² + 2x + 1 = 0
             (x + 1)² = 0
               (x + 1) = 0
                        x = −1

Hetta er beint eftir regluni

b)    2x² − 8x + 8 = 0
      2(x² −4x + 4) = 0
             2(x – 2)² = 0
                 (x − 2) = 0
                          x = 2

Tá ið 2 er tikið út um klombur, passar eisini hetta dømið við regluna

Stundum ber til at faktorisera líkningina, so er bara eftir at finna tey x-virðini, sum gera, at faktorarnir verða null.

Dømi 4

Vit loysa líkningina x² − 5x + 6 = 0

x² − 5x + 6 = 0

(x − 2)(x − 3) = 0

x = 2 ella x = 3

Dømi 5

Vit loysa líkningina x² − 4x − 5 = 0

x² − 4x − 5 = 0

x² − 4x + 2² − 2² − 5 = 0

(x² − 4x + 4) − 9 = 0

Her leggja vit afturat (og draga frá) kvadratið av hálva virðinum á konstantinum b. So kunnu vit brúka regluna

p²± 2pq + q² = (p ± q)²

(x − 2)² − 9 = 0

Nú hevur vistrasíðan skapið

x − 2 = ±3

x = 2 ± 3

x = 5 ella x = −1

(x + r)² + s, sum vit áður hava viðgjørt

Dømi 6

Vit loysa líkningina 3x² − 24x + 21 = 0

3(x² − 8x) + 21 = 0

3(x² − 8x + 4²) − 3∙4² + 21 = 0

3(x − 4)² − 48 + 21 = 0

3(x − 4)² = 27

(x − 4)² = 9

x − 4 = ±3

x = 4 + 3 = 7 ella x = 4 − 3 = 1

Dømi 7

Nú skulu vit finna ein formil at loysa allar líkningar av slagnum ax² + bx + c = 0

	*Set a út um klombur* *Legg kvadratið av hálva koefficientinum hjá x afturat. Drag sama tal frá (vit minnast at falda við a)*
	*Skriva trý tey fyrstu liðini sum kvadrat.* *Hini bæði liðini fara yvirum javnateknið, og felags-nevnarin verður funnin*

Tak so kvadratrótina báðumegin. Vit minnast, at tað vera tvær loysnir

So hava vit x einasamalt vinstrumegin og seta liðini høgrumegin upp á felags brotstriku

Hetta var rættiliga fløkt, men nú vit hava funnið formilin, nýtist okkum ikki at próga hann umaftur. Nú kunnu vit brúka hann at loysar allar líkningar á øðrum stigi.

Loysnaformilin fyri líkningarnar ax² + bx + c = 0, er

Hetta er ein ógvuliga kendur og nógv nýttur formil í støddfrøðini.

Dømi 8

Vit skulu nú brúka formilin at loysa líkningina

2x² − 10x + 8 = 0

Koefficientarnir eru: a = 2

b = −10

c = 8

teir seta vit í formilin

Dømi 9

Vit loysa líkningina x² − 3x + 6 = 0

Koefficientarnir eru a = 1, b = −3 og c = 6. Vit seta í formilin

Her síggja vit, at talið undir róttekninum verður negativt. Líkningin hevur tí onga loysn

Dømi 10

Vit skulu nú loysa líkningina 2x² − 10x + 8 = 0 við grafískum CASIO-roknara

Á høvuðsvalmyndini velja vit fyrst líkningaloysnina „EQUA“

So kemur hesin rúturin fram:

Vel síðan „Polynomial“ við F2-knøttinum

Her skulu vit velja 2 við F1-knøttinum, tí talan er um líkning á øðrum stigi. Skuldu vit loyst eina líkning á 3. stigi, skuldu vit valt hin møguleikan (3).

Nú kemur henda valmyndin:

Vit seta inn virðini a = 2, b = −10 og c = 8. Soleiðis trýsta vit:

At enda velja vit SOLV (loys) við F1-knøttinum. Loysnirnar eru x = 4 ella x = 1. Tær verða vístar soleiðis:

Dømi 11

Nú skulu vit síggja, hvat roknimaskinan ger, tá ið líkningin onga loysn hevur, sum t.d. líkningin x² − 3x + 6 = 0. Vit sláa tølini inn: a = 1, b = −3 og c = 6. Roknimaskinan kemur við hesi niðurstøðu:

Hetta merkir, at hvør loysnin er eitt tvítal (komplekst tal). Líkningin hevur onga reella loysn.

Dømi 12

Nú skulu vit síggja, hvussu líkningar á øðrum stigi verða loystar við rokniarkinum EXCEL. Við seta upp hesa talvuna:

Vit loysa líkningina 2x² − 10x + 8 = 0.

Vit skriva inn a, b og c í rútarnar A3, B3 og C3.

Í rútin B5 skriva vit formilin

=B3^2-4*A3*C3.

Í rútin B7 skriva vit formilin

=IF(B5<0;"Eingin loysn!";(-B3+SQRT(B5))/(2*A3))

Í rútin B9 skriva vit formilin

=IF(B5<0;"Eingin loysn!";(-B3-SQRT(B5))/(2*A3))

Brúka vit hetta forritið at loysa líkningar, sum bara hava eina loysn, sum t.d. x² − 2x + 1 = 0, fáa vit sama svar tvær ferðir.

Hevur líkningin onga loysn, sum t.d. líkningin x² − 3x + 6 = 0, svarar EXCEL soleiðis:

Ven hesar mannagongdir og tak síðan roynd 1 í líkningum 3.

NB! minst til at skriva í eftirlitslistan.